A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1 Định nghĩa vectơ
- Vectơ là một đoạn thẳng định hướng.
- Mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối.
Vectơ có điểm là A và điểm cuối là B được kí hiệu là

Quy ước: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ không. Kí hiệu:
.
Độ dài vectơ
Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đâù mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Độ dài của
kí hiệu:
.
Hai vectơ cùng phương, bằng nhau, đối nhau
Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
Hai vectơ cùng phuuwong có thể cùng hướng hoặc ngược hướng:
• Hai vectơ
,
cùng hướng , kí hiệu:
.
• Hai vectơ ngược hướng, kí hiệu:
.
Hai vectơ
,
bằng nhau, kí hiệu:
.


Hai vectơ
,
đối nhau, kí hiệu:
.


CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Phép cộng vectơ
- Các quy tắc
+ Quy tắc ba điểm:
Với ba điểm A, B, C bất kì, ta luôn có:

(hệ thức Chasles)
+ Quy tắc hình bình hành:
Nếu ABCD là hình bình hành thì


- Tính chất của phép cộng vectơ
+ Tính chất giao hoán:

+ Tính chất kết hợp:

+ Tính chất của
:

1.2.2 Phép trừ vectơ
- Ta có:

- Quy tắc ba điểm đối với phép trừ vectơ
Cho vectơ
và một điêwmr O bất kì, t luôn có:


1.2.3 Phép nhân vectơ với một số thực
- Định nghĩa: Tích của số thực k với một vectơ
là một vectơ, kí hiệu: k



- Tính chất:
+ Phân phối đối với phép cộng vectơ:

+ Phân phối đối với phép cộng:

+ Kết hợp:

1.3 TỌA ĐỘ VECTƠ
1.3.1 Trục tọa độ
- Định nghĩa: Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị
có độ dài bằng 1.
- Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục: Cho vectơ
; a được gọi là tọa độ của vectơ
trên trục (O;
).
Một điểm M nằm trên trục và
; m là tọa độ của M trên trục (O;
).
Hệ trục tọa độ
- Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy gồm hai trrục Ox, Oy vuông góc với nhau với hai vectơ đơn vị
,
có độ dài bằng 1.
- Tọa độ của vectơ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì với mọi vectơ
, ta có:


Cặp số (u1;u2) được gọi là tọa độ của vectơ

Kí hiệu
= (u1;u2)
Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì:


- Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì:


x, y là tọa độ của M, kí hiệu M(x;y).
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ
,
là một số, kí hiệu là
được xác định bởi:


Hệ quả:
- Bình phương vô hướng của vectơ
:

- Điều kiện vuông góc của hai vectơ:

Tính chất
Với mọi
,
,
và số thực k:
-

-

-

Biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ
,
.
Khi đó

Hệ quả:
-
-
B. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ
1. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG
1.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta đi chứng minh:

k
R.
Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng:
- Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.
- Hướng 2: Xác định vectơ
và
thông qua các tổ hợp trung gian.
* Chú ý: Cho ba điểm A, B, C. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:


Với điểm tùy ý M và số thực
bất kì.
Đặc biệt khi
thì C thuộc đoạn AB
1.2 BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC